作业帮与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 17:48:25
与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切
与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切
与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切
这种题目计算冗繁,不过我还是帮你解答一下吧.
圆x^2+y^2=1 过椭圆焦点,所以c=1
此时它 ,与椭圆仅有2个公共点,那么必然有此圆的半径=椭圆的短轴长（否则四个交点)
所以c=b=1 a^2 = 2 椭圆方程：x^2/2+y^2=1
设A（x1,y1),B(x2,y2)
OA ·OB = x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2*(1+k^2)+mk(x1+x2)+m^2.1&
将 y=kx+m 带入 x^2+2y^2=2
有(1+2k^2)x^2+4kmx+2(m^2-1) = 0 得到x1x2=2(m^2-1)/(1+2k^2) ,x1+x2 = -4km(1+2k^2)带入 1&
有OA ·OB=(3m^2-2(k^2+1))/(1+2k^2).2&
但是 y=kx+m 与x^2+y^2=1相切,就等价于m^2=k^2+1
所以2& 就化简为 2/3≤OA ·OB=(k^2+1)/(2k^2+1)=1/2+1/2(2k^2+1)≤3/4 (K不存在时不满足,易证）
所以 1/2≤k^2≤1 k∈[-1,-√2/2]∪[√2/2,1]
O到直线AB的距离是1,其实也就是三角形AOB的高是1
SΔABC=1*AB=√(1+k^2) * |x1-x2|
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4x1x2 = [16k^2m^2-8(m^2-1)(2k^2+1)]/(1+2k^2)^2
=8[2k^2m^2-2k^2m^2-m^2+1+2k^2]/(1+2k^2)^2 (m^2=k^2+1)
=8k^2/(2k^2+1)^2
AB^2 = 8k^2(1+k^2)/(1+2k^2)^2=8[(k^4+k^2+1/4)-1/4]/(1+4k^2+4k^4)
=8* 1/4[ 1-1/(2k^2+1)^2]
此时,令t =2k^2+1 1/2≤k^2≤1 有 2≤t≤3
f(t) = t-1/t^2 在[2,3] 上是单调增函数
所以,AB^2min = 2(1-1/4) = 3/2 ;AB^2max = 2(1-1/9)=16/9
所以,SΔABCmin = √6/2 ,SΔABCmax=4/3