作业帮关于矩阵的迹第一问：我会做.第二问：会做.存在正交矩阵T,使A=TUT',其中（U是有A的特征值值u构成的矩阵,对角线上元素>=0）,所以Tr（AB）=Tr（TUT'B）=Tr（UT'BT）.T'BT也为半正定,其对角线元素大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 03:08:17
关于矩阵的迹第一问：我会做.第二问：会做.存在正交矩阵T,使A=TUT',其中（U是有A的特征值值u构成的矩阵,对角线上元素>=0）,所以Tr（AB）=Tr（TUT'B）=Tr（UT'BT）.T'BT也为半正定,其对角线元素大
关于矩阵的迹
第一问：我会做.
第二问：会做.存在正交矩阵T,使A=TUT',其中（U是有A的特征值值u构成的矩阵,对角线上元素>=0）,所以Tr（AB）=Tr（TUT'B）=Tr（UT'BT）.T'BT也为半正定,其对角线元素大于等于0,左乘U相当于每行都乘以个非负数,所以UT'BT对角线仍大于等于0,所以Tr（AB）>=0.
但是第三问不会做,请高手指教.（是不是在第二问的时候能求出 AB 相似于 某个 半正定矩阵呢?要是的话,二、三问就一起解决了）
关于矩阵的迹第一问：我会做.第二问：会做.存在正交矩阵T,使A=TUT',其中（U是有A的特征值值u构成的矩阵,对角线上元素>=0）,所以Tr（AB）=Tr（TUT'B）=Tr（UT'BT）.T'BT也为半正定,其对角线元素大
只需把你得到的式子Tr（AB）=Tr（TUT'B）=Tr（UT'BT）往下再写一步：令D^2=U,其中D是对角阵,对角元是U的对角元的正的平方根.因此Tr(AB)=Tr(DT'BTD),第二个括号里是半正定阵,迹为0的话只能是零矩阵.注意到DT'BTD=0和D^2T'BT=0等价,因此得到结论.
迹就是各特征值的和 各特征值又都是非负的，又迹为0，那么只能是特征值都为0 ，那么AB与0矩阵相似了 AB经过变形肯定就能写成0矩阵了
2和3可以一起用cholesky分解解决
2 tr(AB)=tr(CC'DD')=tr(C'DD'C)=tr((D'C)'D'C)>=0
3如果tr((D'C)'D'C)=0，括号里是半正定的，对角化后只能每个特征值都是0.
和你的第二问的方法差不多，这个方便一点