六边形ABCDEF内接于半径为r的圆……六边形ABCDEF内接于半径为r的圆O,AB=CD=DE=FA=x,AD过O点,求x与六边形ABCDEF周长L的关系式(用x表示L,要求写出x的取值范围),并求出x为何值时,L有最大值,最大值为多

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 10:05:11

六边形ABCDEF内接于半径为r的圆……六边形ABCDEF内接于半径为r的圆O,AB=CD=DE=FA=x,AD过O点,求x与六边形ABCDEF周长L的关系式(用x表示L,要求写出x的取值范围),并求出x为何值时,L有最大值,最大值为多
六边形ABCDEF内接于半径为r的圆……
六边形ABCDEF内接于半径为r的圆O,AB=CD=DE=FA=x,AD过O点,求x与六边形ABCDEF周长L的关系式(用x表示L,要求写出x的取值范围),并求出x为何值时,L有最大值,最大值为多少?

六边形ABCDEF内接于半径为r的圆……六边形ABCDEF内接于半径为r的圆O,AB=CD=DE=FA=x,AD过O点,求x与六边形ABCDEF周长L的关系式(用x表示L,要求写出x的取值范围),并求出x为何值时,L有最大值,最大值为多
详见图.已知AD通过O点,所以,AD是直径
又因为AB=CD=DE=FA=x,
所以,EF‖AD‖BC
在△AON中,cos∠OAN=AN/OA=(x/2)/r=x/2r
在△AON中,AM=AB*cos∠OAN=x*(x/2r)=x^2/2r
BC=ED=2(OA-AB)=2*(r-x^2/2r)=2r-x^2/r
L=AB+CD+DE+FA+BC+EF=4x+2*(2r-x^2/2r)=4x+4r-2*x^2/r
x的取值范围是:0＜x＜r
当L的导数为0时,L最大.
L'=(4x+4r-2*x^2/r)'=4-4x/r=0,即x=r.
L最大=4x+4r-2*x^2/r=4r+4r-2*r^2/r=6r

全部展开

圆的内接六边形中，有四边相等其边长AB=CD=DE=FA=x,且设AB 边所对的圆心角为α
在等腰三角形AOB中，x/2=rsin（α/2）
sin(α/2)=x/2r----(1)因AD过圆心，故AD为圆的直径，它把圆分为二等分。
设其余二边BC=EF=a,BC边所对的圆心角=180-2α
在△BOC中，a/2=rsin(180-2α)/2=rsin(90-α)=rcosα
故，a=2rcosα
又因，cosα=1-2sin^2(α/2＝1-2(x/2r)^2=1-x^2/(2r^2)
因，L=4x+2a
L=4x+2*2r[1-x^2/(2r^2)]
L=4x+4r-2x^2/r ----所求解析式。将L式右边配方得:
L=-(2x^2/r-4x)+4r
L=-(2/r)(x-r)^2+6r
故，L=-(2/r)(x-r)^2+6r
x的取值范围：理论上, x可取任意实数。但x是△AOB的一边，故：
x>r-r=0,x故，0当x=r 时，L有最大值，且Lmax=6r

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