作业帮一道有关求椭圆方程的题目在椭圆x^2/8+y^2/t内有一点A(2,1),过A的直线L的斜率为-1,且与椭圆交于B、C两点,BC的中点恰好是A,求椭圆方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 11:57:56
一道有关求椭圆方程的题目在椭圆x^2/8+y^2/t内有一点A(2,1),过A的直线L的斜率为-1,且与椭圆交于B、C两点,BC的中点恰好是A,求椭圆方程
一道有关求椭圆方程的题目
在椭圆x^2/8+y^2/t内有一点A(2,1),过A的直线L的斜率为-1,且与椭圆交于B、C两点,BC的中点恰好是A,求椭圆方程
一道有关求椭圆方程的题目在椭圆x^2/8+y^2/t内有一点A(2,1),过A的直线L的斜率为-1,且与椭圆交于B、C两点,BC的中点恰好是A,求椭圆方程
此题可作为 点差法 之例题
在此说做法
设B,C坐标（x1,y1）（x2,y2）,带入椭圆得两方程,将其相减,因式分解后有（x1+x2）,(x1-x2)等项,由题可知A为中点,则将（x1+x2）（y1+y2）用A坐标代掉
再等式两边除x1-x2（右边是0）,用斜率代取（y1-y2）/(x1-x2)就差不多了
由点A的斜率和所过的定点(2，1)可得过A.B.C的直线l为：y=-x+3。此时就可以设B(x1，y1)、C(x2，y2)，将B、C代入椭圆方程利用点叉法得到关于x1，y1和x2，y2的方程相减可以得到t(x1+x2)(x1-x2)+8(y1+y2)(y1-y2)=0*又B,C的中点坐标(2，1)则*=4t(x1-x2)+16(y1-y2)=0又BC所在直线斜率为-1得出t=4吧...
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由点A的斜率和所过的定点(2，1)可得过A.B.C的直线l为：y=-x+3。此时就可以设B(x1，y1)、C(x2，y2)，将B、C代入椭圆方程利用点叉法得到关于x1，y1和x2，y2的方程相减可以得到t(x1+x2)(x1-x2)+8(y1+y2)(y1-y2)=0*又B,C的中点坐标(2，1)则*=4t(x1-x2)+16(y1-y2)=0又BC所在直线斜率为-1得出t=4吧
收起
A(2,1)为BC中点，所以，设B(x1,y1)C(4-x1,2-y1),
所以直线L的斜率为【（2-y1）-y1】/【（4-x1）-x1】=-1
得出y1+x1-3=0即y+x-3=0
将y+x-3=0与x^2/8+y^2/t=1联立得（t+8）x^2-48x+72-8t=0
由韦达定理知x1+x2=48/(t+8)=4得t=4
所以椭圆方程为x^2/8+y^2/4=1
一般椭圆问题如果遇到弦问题，联立直线方程和椭圆方程是通解，如果碰到弦中点问题，用点差法方便