高数.利用曲线积分,求星形线......利用曲线积分,求星形线 X＝a cos3t Y=a sin3t所围图形的面积.题中,X Y 为自变量,a 为一自然数,cos sin为正弦和余弦,3为立方 t 为变量请问星形线是什么线?怎么求它

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 12:37:15
高数.利用曲线积分,求星形线......利用曲线积分,求星形线 X＝a cos3t Y=a sin3t所围图形的面积.题中,X Y 为自变量,a 为一自然数,cos sin为正弦和余弦,3为立方 t 为变量请问星形线是什么线?怎么求它

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高数.利用曲线积分,求星形线......
利用曲线积分,求星形线 X＝a cos3t Y=a sin3t所围图形的面积.
题中,X Y 为自变量,a 为一自然数,cos sin为正弦和余弦,3为立方 t 为变量
请问星形线是什么线?怎么求它的面积?（有求面积公式和算法说明）

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曲线积分求面积的公式：A=1/2∫xdy-ydx
这个公式的证明,简单的说：
∫Pdx+Qdy  :L
如果积分曲线封闭,且为单联通,并有：P对Y偏导,Q对X偏导
应用格林公式有：∫Pdx+Qdy  =∫∫(dP/dy-dQ/dx)dxdy
且知道,二重积分∫∫ƒ(x.y)dxdy   当ƒ(x.y)=1时  在数值上等于积分区的面积.
曲线积分就是通过这个途径来求面积的.
此题的做法是：A=1/2∫xdy-ydx= 1/2∫(3a²sin²tcos²tcos²t+3a²sin²tsin²tcos²t)dt
                            =3∏a²/4
不知道结果对不对

答案是：3πa^2/8

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