作业帮大一微积分书上的4道数学题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 21:15:10
大一微积分书上的4道数学题
大一微积分书上的4道数学题
大一微积分书上的4道数学题
1.u=π-x
∫(π/2,π)f(sinx)dx=∫(π/2,0)f(sinu)d(-u)=∫(0,π/2)f(sinu)du=∫(0,π/2)f(sinx)dx
因此∫(0,π)f(sinx)dx=2∫(2,π/2)f(sinx)dx
2.u=π-x
∫(π/2,π)xf(sinx)dx=∫(π/2,0)(π-u)f(sinu)d(-u)=π∫(0,π/2)f(sinu)du-∫(0,π/2)usinudu
因此∫(0,π)xf(sinx)dx=∫(0,π/2)usinudu+∫(π/2,π)xf(sinx)dx=π∫(0,π/2)f(sinu)du=(π/2)∫(0,π)f(sinu)du
最后一步用到了第一题结论
3.F(x)=∫(0,x)f(u)du
f(x)连续,F(x)连续
F(-x)=∫(0,-x)f(u)du
t=-u
F(-x)=∫(0,x)f(-t)d(-t)=∫(0,x)f(t)d(t)=F(x)
F(x)为连续偶函数
4.F(x)=∫(0,x)f(u)du
f(x)连续,F(x)连续
F(-x)=∫(0,-x)f(u)du
t=-u
F(-x)=∫(0,x)f(-t)d(-t)=-∫(0,x)f(t)d(t)=-F(x)
F(x)为连续奇函数
放大与缩小后的极限都是A，这样由夹逼准则，本题得证 第二题，首先要证明极限存在，该数列单增是比较显然的，下面证明有界，数学归纳法，x1<2，假设xn