作业帮(1+1/n)的n+a次方 对于任意n 属于正整数恒小于等于e 求解a的取值范围 能否用导数做?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:34:35
(1+1/n)的n+a次方 对于任意n 属于正整数恒小于等于e 求解a的取值范围 能否用导数做?
(1+1/n)的n+a次方 对于任意n 属于正整数恒小于等于e 求解a的取值范围 能否用导数做?
(1+1/n)的n+a次方 对于任意n 属于正整数恒小于等于e 求解a的取值范围 能否用导数做?
不等式两侧同取对数,
则a≤1/ln(1+1/n)-n,
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x,x=1/n
f‘(x)＝-1/[ln(1+x)]²[1/(1+x)] +1/x²
＝{[ln(1+x)]²(1+x)-x²}/{[x²{[ln(1+x)]²(1+x)} （通分）
因为,x=1/n,n为正整数
所以,00
分母>0,讨论分子
设,g(x)=[ln(1+x)]²(1+x)-x² （00,只讨中论括号里面的
设t(x)＝ln(1+x)－x
t’(x)＝1/(1+x) －1＝-x/(1+x)
两边同时乘以n+a方
即证明e^(n+a)-1/n-1>0恒成立
令f(x)=e^(n+a)-1/n-1在n属于正数上是单调递增的所以
f(1）>0即a>根号2-1
不等式两侧同取对数，则a<=1/ln(1+1/n)-n,设其为x的函数，利用求导，单调性即可求出a<=1/ln2-1
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x,再令x=1/n
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对于任意正整数,猜想2的（N-1）次方与（N+1）的平方的大小关系
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