关于圆的难题.如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相较于点E.F是AC上的一点,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC,求证：1）CD⊥DF2）BC=2CD

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 09:09:41

关于圆的难题.如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相较于点E.F是AC上的一点,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC,求证：1）CD⊥DF2）BC=2CD
关于圆的难题.

如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相较于点E.F是AC上的一点,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC,求证：
1）CD⊥DF
2）BC=2CD

关于圆的难题.如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相较于点E.F是AC上的一点,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC,求证：1）CD⊥DF2）BC=2CD
证明：1．∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=90°-∠BAD/2
又∠ACD=∠ABD,∠CFD=∠BAD/2
∴∠CDF=90°,CD⊥DF；
2．作FG⊥BC于G
∵∠BFC=∠BAD,∠FCB=∠ADB,
∴△FBC∼ABD
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠FCB,
∴FB=FC,又FG⊥BC
∴BC=2BG=2GC,
　∠BFG=∠CFG=∠BFC/2=∠CFD
又∠FCD=∠ABD=∠FBG,
　FB=FC
∴△FBG≅△FCD
∴BC=2BG=2CD
证法2：1．∵AB=AD,
∴∠ADB+∠BAD/2=90°,
又∠ACD=∠ABD,∠CFD=∠BAD/2,
∴∠ACD+∠CFD=90°,CD⊥DF；
2．作FG⊥BC于G,
∵∠ABF+∠BAC=∠BFC=∠BAD,
∴∠ABF=∠CAD=∠CBD,
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB,
∴FB=FC,又FG⊥BC
∴BC=2BG=2GC,
　∠BFG=∠BFC/2=∠CFD,
又∠FCD=∠ABD=∠FBG,
　FB=FC,
∴△FBG≅△FCD,
∴BC=2BG=2CD．