请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 20:54:16

请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合
请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合

请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合
设BD :DC = CE :EA = AF :FB = γ
根据矢量加法有矢量BD + 矢量CE + 矢量AF = (γ/(1 + γ)) (矢量BC + 矢量CA + 矢量AB） = (γ/(1 + γ)) * 0 = 0
设 O 为△ABC的重心,有矢量OA + 矢量OB + 矢量OC = 0
而矢量OD = 矢量OB + 矢量BD
矢量OE = 矢量OC + 矢量CE
矢量OF = 矢量OA + 矢量AF
所以
矢量OD + 矢量OE + 矢量OF
= （矢量OB + 矢量BD） + （矢量OC + 矢量CE） + （矢量OA + 矢量AF）
= （矢量OA + 矢量OB + 矢量OC）+ （矢量BD + 矢量CE + 矢量AF）
= 0 + 0 = 0
故 O也是△DEF的重心.问题得证.
注：这里用到一个定理：
O是三角形的重心的充要条件是矢量OA+矢量OB+矢量OC=0

设OA＝a, OB＝b, OC＝c OD＝ta+（1-t）b, 则OE＝tb+（1-t）c,OF＝tc+（1-t）a
设⊿ABC重心是G.则 OG＝（a+b+c）/3
⊿DEF重心是H,则OH＝｛[ta+（1-t）b]+[tb+（1-t）c]+[tc+（1-t）a]｝/3
＝（a+b+c）/3＝OG. H与G重合。

请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合证明三角形的三条中线相交于一点,且这一点把三条中线都分成2∶1的两条线段请写下具体的证明过程`谢谢``用向量的定比分点的方法解下~ 两个高数空间几何问题用向量法证明：三角形各边依次同分比之,则三个分点所成的三角形必与原三角形有着相同的重心求平行于向量a=2i + 3j - 4k的单位向量的分解式向量定比分点公式的向量式证明公式三角形ABC的三角平分线AA`+BB`+CC`=0向量证明三角形是正三角形向量定比分点证明? 三角形中两边三等分点连成的线段与第三边的数量关系请用向量的方法证明任何三角形三条中线共点. 用向量法证明:三角形的三条中线交与一点RT请用向量知识解答向量定比分点除了用向量的定比分点公式还能怎么证? 向量的应用用向量证明圆内以直径为一边内接的三角型为RT三角型怎么用向量坐标解高中数学三角形各种心的向量的表达式以及其详细证明请证明可以不等式关于三角和向量的证明有吗? 向量的定比分点在三角形ABC中，E、F分别为AB，BC的中点，M、N为AC的三等分点。EM，FN的延长线交于点D。求证：四边形ABCD为平行四边形。(请用三角形中位线方法证明) 有一三角形,两角之和大于第三角,它是啥三角形?请证明你的论断用向量法证明三角形的中线交于一点用向量的知识证明三角形三条高线交与一点