如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=n·AC,CD⊥AB于D,点P为AB上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F.1）若n＝2,求AE:EP.2）若n＝3,求EF:DF.3）当n等于多少时,EF:DF＝2√3:3

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=n·AC,CD⊥AB于D,点P为AB上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F.1）若n＝2,求AE:EP.2）若n＝3,求EF:DF.3）当n等于多少时,EF:DF＝2√3:3
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=n·AC,CD⊥AB于D,点P为AB上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F.
1）若n＝2,求AE:EP.
2）若n＝3,求EF:DF.
3）当n等于多少时,EF:DF＝2√3:3 

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=n·AC,CD⊥AB于D,点P为AB上一动点,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F.1）若n＝2,求AE:EP.2）若n＝3,求EF:DF.3）当n等于多少时,EF:DF＝2√3:3
1）因为PE⊥AC,所以Rt△ABC相似于Rt△APE,故：AE:EP＝AC：CB .(1)
由题意知,n=BC:AC .(2)
联系（1）和（2）,得到：AP:EP=AC:CB=1/(BC:AC)=1/n
2)分三步计算：
（i）在Rt△BFP和Rt△BDC中,角B是公共角,所以Rt△BFP相似于Rt△BDC
故：BF:BD＝FP:CD.(3)
又四边形FPEC为矩形（四个角均为直角）,所以：CE=FP(对边相等）.(4)
结合（3）与（4）可以得到：BF:BD=CE:CD .(5)
（ii）在Rt△ABC和Rt△ADC中,角A是公共角,故：Rt△ABC相似于Rt△ADC
得到：角ACD＝角B.(6)
（iii）在△CED和△BFD中,由（6）得到：角B＝角ECD（有一个角相等）
由（5）得到：BF:BD=CE:CD（相邻的两个边成比例）
已经满足了两个三角形相似的条件,所以：△CED相似于△BFD
所以：角CDE＝角BDF.(7)
则：角FDE＝角FDC+角CDE＝角FDC+角BDF（此处用到结论（7））＝角BDC＝90度
所以：△EDF为直角三角形,且角FDE为直角.(8)
（iv）在△AED和△CFD中,角A＝角FCD,角ADE＝角CDF（因为这两个角加上角CDE后都是直角）,故得出△AED相似于△CFD,所以：AD:CD=ED:FD.(9)
（v）在Rt△ACD和Rt△FED中（此处利用了结论（8））,因为（9）：AD:ED=CD:FD
即两个直角边对应成比例,所以：Rt△ACD相似于Rt△FED
当然,可以推出：Rt△BAC也相似于Rt△FED.(10)
由（10）,EF:DF=AB:BC.(11)
由题意：BC＝n*AC,此题n=3,即BC＝3AC
而AB的平方＝BC的平方+AC的平方＝（3AC）^2+(AC)^2=9(AC)^2+(AC)^2=10(AC)^2
故AB＝（根号10）*AC
得：EF:DF=[(根号10)*AC]:[3*AC]=（根号10）:3
3)由于需要求出EF:DF＝2√3:3 ,根据（11）可知,此时必定AB:BC=EF:DF＝2√3:3
也就是AB＝2√3*BC/3
这时求：AC的平方＝AB的平方－BC的平方＝4*3*BC的平方/9－BC的平方
＝4/3*BC的平方－BC的平方＝1/3*BC的平方
AC＝1/根号3*BC
所以BC:AC=根号3,由题目中所给,此值即为所求n的大小,即：n=BC:AC=根号3
解毕.

第一问 直接用AEP与ACB相似 得到AE：EP=AC：CB=1：2
第二问：连接DE 先证△BPF∽△BCD
∴BF／BD＝PF／CD
∴BF／BD＝CE／CD
∵∠DCE＝∠B
∴△ECD∽△FBD
∴∠CDE＝∠BDF
再证△EDF是Rt△
∴DE／DF＝CD／BD＝AC／BC＝1／3
∴EF／DF＝√10／3<...

全部展开

第一问 直接用AEP与ACB相似 得到AE：EP=AC：CB=1：2
第二问：连接DE 先证△BPF∽△BCD
∴BF／BD＝PF／CD
∴BF／BD＝CE／CD
∵∠DCE＝∠B
∴△ECD∽△FBD
∴∠CDE＝∠BDF
再证△EDF是Rt△
∴DE／DF＝CD／BD＝AC／BC＝1／3
∴EF／DF＝√10／3
第三问 可以用第二问的一些证明结论
DEF是RT△
设EF=2√3a DF=3a 求得ED=√3a
即ED/DF=CD/BD=AC/CB=√3a/3a=√3/3
∴n=√3

收起

第一个，两个三角形相似，所以为1:2

AE:EP=AC:BC=1:n
EF/DF=√（1+n^2）/n=√10/3
EF:DF＝2√3:3
√（1+n^2）/n=2√3:3
n=√3