作业帮高中数列求和【已知结果求过程】an=n的平方,求Sn=?结果我知道,重点是过程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 05:15:41
高中数列求和【已知结果求过程】an=n的平方,求Sn=?结果我知道,重点是过程.
高中数列求和【已知结果求过程】
an=n的平方,求Sn=?结果我知道,重点是过程.
高中数列求和【已知结果求过程】an=n的平方,求Sn=?结果我知道,重点是过程.
首先这是一个基本的公式,为n(n+1)(2n+1)/6
至于证明.应该考虑n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
再累加即可.
如下：
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
......
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
累加得
n^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-3(1+2+3+...+n)+n
即：1^2+2^2+3^2+...+n^2=[n^3+3(1+2+3+...+n)-n]/3
=n(n+1)(2n+1)/6
类似的三次方和的的公式为[n(n+1)/2]^2,也是升一次,再求和.
及时追问.
采用累加法：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
……
2³-1³=3×1²+3×1+1
相加，左边中间正负抵消
(n+1)³+1=3(1²+2²+……+n²)+3(...
全部展开
采用累加法：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
……
2³-1³=3×1²+3×1+1
相加，左边中间正负抵消
(n+1)³+1=3(1²+2²+……+n²)+3(1+2+……+n)+n
1+2+……+n=n(n+1)/2
代入整理得
1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
收起
∵(n+1)³=n³+3n²+3n+1
∴(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
2³-1³=3×1²+3×1+1
3²-2²=3×2²+3×2+1
4²-3²=3×3²+3×3+1
5²-4...
全部展开
∵(n+1)³=n³+3n²+3n+1
∴(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
2³-1³=3×1²+3×1+1
3²-2²=3×2²+3×2+1
4²-3²=3×3²+3×3+1
5²-4²=3×4²+3×4+1
............
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
左右两边分别相加,
(n+1)³-1³=3×(1²+2²+3²+....+n²)+3×(1+2+3+...+n)+n
(n+1)³-1³=3×(1²+2²+3²+....+n²)+3×n(n+1)/2+n
n³+3n²+3n=3×(1²+2²+3²+....+n²)+3×n(n+1)/2+n
3×(1²+2²+3²+....+n²)=n³+3n²+2n-3×n(n+1)/2
=(2n³+6n²+4n-3n²-3n)/2
=(2n³+3n²+n)/2
=n(n+1)(2n+1)/2
∴1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6
收起