作业帮几道级数的问题级数n!/n^n的敛散性,并证明级数2^n*n!/n^n的敛散性,并证明幂级数n!*x^n/n^n的收敛半径,并证明一定要证明!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 15:34:54
几道级数的问题级数n!/n^n的敛散性,并证明级数2^n*n!/n^n的敛散性,并证明幂级数n!*x^n/n^n的收敛半径,并证明一定要证明!
几道级数的问题
级数n!/n^n的敛散性,并证明
级数2^n*n!/n^n的敛散性,并证明
幂级数n!*x^n/n^n的收敛半径,并证明
一定要证明!
几道级数的问题级数n!/n^n的敛散性,并证明级数2^n*n!/n^n的敛散性,并证明幂级数n!*x^n/n^n的收敛半径,并证明一定要证明!
a(n) = n!/n^n
a(n+1)/a(n) = (n+1)!/(n+1)^(n+1)*n^n/n!
= (n+1)n^n/(n+1)^(n+1)
= [n/(n+1)]^n
= 1/[1 + 1/n]^n
lim_{n->正无穷}[a(n+1)/a(n)]
= lim_{n->正无穷}[1/[1 + 1/n]^n]
= 1/e < 1
级数n!/n^n收敛
b(n) = 2^n*n!/n^n
b(n+1)/b(n) = 2^(n+1)*(n+1)!/(n+1)^(n+1)*n^n/[2^n*n!]
= 2(n+1)n^n/(n+1)^(n+1)
= 2[n/(n+1)]^n
= 2/[1 + 1/n]^n
lim_{n->正无穷}[b(n+1)/b(n)]
= lim_{n->正无穷}[2/[1 + 1/n]^n]
= 2/e < 1
级数2^n*n!/n^n收敛
c(n) = x^n*n!/n^n
c(n+1)/c(n) = x^(n+1)*(n+1)!/(n+1)^(n+1)*n^n/[x^n*n!]
= x(n+1)n^n/(n+1)^(n+1)
= x[n/(n+1)]^n
= x/[1 + 1/n]^n
lim_{n->正无穷}[c(n+1)/c(n)]
= lim_{n->正无穷}[x/[1 + 1/n]^n]
= x/e < 1
幂级数 x^n*n!/n^n的收敛半径 = e.