作业帮大一高数 微分方程问题 已知曲线y=y(x)过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为(6y-x^2)/2x,试求该曲线方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 20:25:58
大一高数 微分方程问题 已知曲线y=y(x)过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为(6y-x^2)/2x,试求该曲线方程.
大一高数 微分方程问题
已知曲线y=y(x)过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为(6y-x^2)/2x,试求该曲线方程.
大一高数 微分方程问题 已知曲线y=y(x)过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为(6y-x^2)/2x,试求该曲线方程.
∵曲线y=y(x)上任意点(x,y)处的切线斜率为(6y-x²)/2x
∴y'=(6y-x²)/(2x).(1)
∵齐次方程y'=3y/x ==>dy/y=3dx/x
==>ln│y│=3ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=Cx³
∴根据常数变易法,设微分方程(1)的解为y=C(x)x³ (C(x)表示关于x的函数)
∵y'=C'(x)x³+3C(x)x²
代入微分方程(1),得C'(x)x³+3C(x)x²=[6C(x)x³-x²]/(2x)
==>C'(x)x³=-x/2
==>C'(x)=-1/(2x²)
==>C(x)=-∫dx/(2x²)=1/(2x)+C (C是积分常数)
∴微分方程(1)的通解是y=C(x)x³=x²/2+Cx³
∵曲线y=y(x)过点(1,2),即当x=1时,y=2
代入通解,得1/2+C=2 ==>C=3/2
∴微分方程(1)满足条件x=1与y=2的特解是y=x²(1+3x)/2
故所求曲线方程是y=x²(1+3x)/2.
由题设：y'=(6y-x^2)/2x,再用课本上一阶线性微分方程求解公式就行了
dy/dx=(6y-x^2)/2x
2xdy=(6y-x^2)dx
6ydx-2xdy=x^2dx
d(x^(-3)y)=-3x^(-4)ydx+x^(-3)dy=(6ydx-2xdy)x^(-4)/2=x^(-2)/2dx
x^(-3)y=-x^(-1)/2+C
y=[-x^2/2+Cx^3]
y=y(x)过点(1,2) 有 2=[-1/2+C] C=5/2
y=[-x^2/2+5x^3/2]=(5x-1)x^2/2
y的一阶导=(6y-x^2)/2x然后在用一阶导积分公式就可以了
y' = (6y-x^2)/2x=(3/x)y - x/2；
y' - (3/x)y = - x/2；
公式：y=[e^(∫ 3/xdx)]×[ ∫(-x/2)e^(∫-3/xdx)dx + C]
= x³×(1/(2x) + C ) = 0.5x² + Cx³
y(1)=2，∴C=1.5
∴...
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y' = (6y-x^2)/2x=(3/x)y - x/2；
y' - (3/x)y = - x/2；
公式：y=[e^(∫ 3/xdx)]×[ ∫(-x/2)e^(∫-3/xdx)dx + C]
= x³×(1/(2x) + C ) = 0.5x² + Cx³
y(1)=2，∴C=1.5
∴y=0.5x² + 1.5x³
（公式：y'+f(x)y=g(x)，则 y=[e^(∫-f(x)dx)]×{∫g(x)[e^(∫f(x)dx)]dx+C} ）
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