A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB=BA 证明 /A+2010B/=/A/ 行列式值相等

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 06:01:40

A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB=BA 证明 /A+2010B/=/A/ 行列式值相等
A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB=BA 证明 /A+2010B/=/A/ 行列式值相等

A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB=BA 证明 /A+2010B/=/A/ 行列式值相等
就不说2010B了,要证明|A+B|=|A|,其中B幂零,AB=BA.不妨假设B已经是Jordan型,否则以T^(-1)BT代替B,同时以T^(-1)AT代替A,使得新的B是Jordan型.当然这时并不知道A是不是Jordan型.这时B的主对角线上元素全是0（因为B幂零）,次对角线上可以有0或者1（次对角线是指主对角线上面的那条）.
同样的道理,除非B=0（这就没得可证了）,否则可以假定
(*) B的次对角线最右下的那个元素是1而不是0（只要通过共轭来调整B的Jordan块的次序）,
这一点,以及AB=BA,将在最后一起使用（如果B只有一个Jordan块的话,直接用AB=BA可以说明A是B的多项式,所以是上三角的；不过现在B可以有好多Jordan块,这时A不一定是上三角的,所以说起来麻烦一点）.
对A、B的阶（我是指矩阵的个头）进行归纳.2阶矩阵的话,在B化为Jordan型之后可以直接验证.假如对(n-1)阶及以下的矩阵都对,那么把|A+B|按第一列展开,和把|A|按第一列展开进行对比.当你在这个第一列里取的元素不是最下面那个元素的时候,它在|A+B|中的余子式矩阵和在|A|中的余子式矩阵差一个幂零的(n-1)矩阵,所以这两个余子式,按归纳假设,是相等的.当你在第一列里取的元素是最下面那个元素的时候,它在|A+B|中的余子式矩阵不一定和在|A|中的只差一个幂零矩阵,但是利用AB=BA和上一段开头的(*)那个假定,考虑AB和BA的第一列的倒数第二个元素,可以直接说明A的第一列的最后一个元素是0.这样|A+B|=|A|.

A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB=BA 证明 /A+2010B/=/A/ 行列式值相等幂零矩阵A^K=0,B^k=0,AB=BA,A+B是幂零矩阵吗?若A和B都是幂零矩阵,且AB=BA,求证（A+B）是幂零矩阵设A是实可逆对称矩阵,B是反对称矩阵且AB=BA证明A+B是可逆矩阵已知A ,B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA是可逆矩阵. 若A,B都是正规矩阵,且AB=BA,如何证明“AB和BA都是正规矩阵” 设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵 A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵设A是非奇异矩阵,且AB=BA,证明BA^(-1)=A^(-1)B 假设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,且AB是幂等矩阵,求证BA也是幂等矩阵设A,B是n阶矩阵,E是n阶单位矩阵,且AB=A-B证明A+E可逆,证明AB=BA 我找到一类的矩阵,A、B是同阶的方阵,矩阵AB=BA不等于E,且A、B都是非对称矩阵,请问A、B有什么性质.A,B不是正交矩阵设A.B都是n级矩阵,且A+B=AB,求证：AB=BA 已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 大学线性代数:已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 设A、B为同阶对称矩阵,证明AB+BA是对称矩阵,AB－BA是反称矩阵. 设A、B为同阶对称矩阵,证明AB+BA是对称矩阵,AB-BA是反称矩阵. 设A是非奇异实对称矩阵,B是反对称矩阵,且AB=BA.证明A +B必是非奇异的设A,B是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA相似.