数学归纳法为什么成立?即数学归纳法的原理.急

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 01:32:41

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数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立.
数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）.但是在另一些公理的基础上,它可以用一些逻辑方法证明.数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：
　　自然数集是良序的.（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）
　　比如{1,2,3 ,4,5}这个正整数集合中有最小的数——1.
　　下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：
　　对于一个已经完成上述两步证明的数学命题,我们假设它并不是对于所有的正整数都成立.
　　对于那些不成立的数所构成的集合S,其中必定有一个最小的元素k.（1是不属于集合S的,所以k>1）
　　k已经是集合S中的最小元素了,所以k-1是不属于S,这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立,那么也对k也应该成立,这与我们完成的第二步骤矛盾.所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立.[1]
　　注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式.更确切地说,两者是等价的.

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