证明:当x>0时,e^x>1十x

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 03:18:02

证明:当x>0时,e^x>1十x
证明:当x>0时,e^x>1十x

证明:当x>0时,e^x>1十x
设：f(x)=e^x－(x＋1)
则：f'(x)=e^x－1
当x>0时,f'(x)>0
即：当x>0时,函数f(x)递增
则：当x>0,f(x)>f(0)=0
所以,当x>0,有：e^x－(x＋1)>0
即：当x>0时,有：e^x>1＋

令y=e^x-x-1
y'=e^x-1
当x>0时，y'>0
所以函数单半
y(1)=0
因此x>0时y>0
即当x>0时，e^x>1十x

令f(x)=e^x-x-1,x>=0
求导，f'(x)=e^x-1,x>0,所以f'(x)>0,
单调增，f(x)>=f(1)=0,最小值取自x=0；
所以x>0时，f(x)>0

设y=f(x)=e^x-(1+x),则 y'=(e^x)-1,当x>0时，y'>0,即f'(x)>0
中值定理，当x>0时,必有ξ：x>ξ>0,使f(x)-f(0)=f'(ξ)，而f'(ξ)>0.
所以f(x)-f(0)>0,又f(0)=0.
故e^x>1+x.

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