证明：当x>0时,ln(1+x)>x-1/2x^2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 10:58:49
证明：当x>0时,ln(1+x)>x-1/2x^2

证明：当x>0时,ln(1+x)>x-1/2x^2
证明：当x>0时,ln(1+x)>x-1/2x^2

证明：当x>0时,ln(1+x)>x-1/2x^2
设f(x)=ln(1+x)-x+1/2x^2,显然有f(0)=0,下面证明当x>0时,f(x)>f(0)=0
即只要能证明f(x)在x>0时为增函数即可
f '(x)=1/(1+x)-1+x=(x^2+x+1)/(1+x)-1>(x+1)/(1+x)-1=0 当x>0时
因此f(x)在x>0时为增函数,即f(x)>f(0)=0
即ln(1+x)-x+1/2x^2>0,则 ln(1+x)>x-1/2x^2

设f(x)=ln(1+x)-(x-1/2x^2)
求导f'=1/(1+x)-(1-x)=x^2/(1+x)>0
f(x)是增函数
f(0)=0
所以ln(1+x)-(x-1/2x^2)>0
ln(1+x)>x-1/2x^2

令f(x)=左边-右边；则f'(x)=1/(x+1)-1+x-x^2 =-x^3/(1+x) x>0时，f'(x)<0,f(x)递减；而f'(0)=0;f(0)=0; 故x>0时，f

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